aljabar linear

TUGAS MAKALAH

ALJABAR LINIER

Dosen Pembimbing :

dosen b.irma

Oleh :

 fiqih

2018303091

PROGRAM STUDI INFORMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS DARUSSALAM GONTOR

PONOROGO INDONESIA

2017

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

            Aljabar linier adalah bidang matematika yang mempelajari sistem persamaan linier dan solusinya, vektor, serta transformasi linier. Matriks dab operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linier. Bahkan saat ini mata kuliah Matriks dan Aljabar Linier merupakan mata kuliah yang fundamental dalam pendidikan ilmu komputer atau teknik informatika. Matriks dan Aljabar Linier merupakan mata kuliah wajib pada program pendidikan yang termasuk ke dalam kelompok teknologi informasi seperti : (ilmu komputer, teknik informatik, sistem informasi, dan teknik elektro).

            Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom atau bilangan-bilangan dalam bentuk persegi panjang dan diapit dengan tanda kurung “()” atau kurung siku”[]”. Suatu matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Sebuah matriks mempunyai ukuran yang disebut dengan ordo. Ordo matriks berbentuk a x bdengan a banyak baris dan b banyak kolo. Terkadang ordo dapat di tuliskan sebagai indeks pada notasi matriks. Dua buah matriks dapat dikatakan sama apabila matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap element yang letaknya sama. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks dari hasil penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu juga dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak akan dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

            Banyak orang beranggapan bahwa matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal matematika dapat kita jumpai didalam ke hidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu saya membuat makalah ini dengan maksud membantu dalam pemahaman masyarakat agar meraka tidak menilai bahwa Matematika adalah sesuatu yang sangat buruk.

TUJUAN

            Makalah ini dibuat dengan tujuan untuk memenuhi tugas matakuliah Aljabar Linier, yang di berikan oleh dosen Ustadzah Triana Harmini, S Pd. Dan tujuan berikut ini adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca dalam makalah ini.

BAB I

Matriks dan Operasinya

Definisi Matriks :

            Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari sebuah bilangan yang dibatasi dengan suatu tanda kurung (). Suatu matriks dapat terusun atas baris dan kolom, jika suatu matriks tersusun atas p baris dan q kolom maka dapat dikatakan matriks tersebut berukuran (berordo) p x q. Pada penulisan matriks biasanya dengan menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusny, dan sedangkan penulisan matriks berserta ukurran (matriks dengan p baris dan q kolom) adalah A_pxq, B_pxq dan seterusnya.

Bentuk umum dari A_pxq adalah :

A_ij dapat disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.

Jenis – Jenis Matriks :

Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering dipergunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu sebagai berikut :

a.       Matriks bujur sangkar

Adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolom. Karena sifatnya yang demikian, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah element diagonal yang berjumlah p untuk matriks bujur sangkat yang berukuran pxp, yaitu : a₁₁, a₂₂,.....a_pp

Contoh :

 dengan elemen diagonal a₁₁ dan a₂₂

dengan elemen diagonal a_11, a_{22, dan} : a₃₃

b.      Matriks Diagonal

Adalah matriks yang elemen diagonalnya bernilai Nol. Dalam ha ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus nol

Contoh :

c.       Matriks Nol

Merupakan matriks yang semua elemennya bernilai Nol.

d.      Matriks Segitiga

Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah atau diatas elemen digonal maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai nol.

Concoh :

Maka Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangkan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.

e.       Matrtiks Identitas

Adalah matriks diagonal yang elemn diagonalnya bernilai 1.

f.       Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi

Suatu matrtiks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat-syarat berikut ini :

1.      Untuk semua baris yang elemen –elemennya bukan nol, maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 (disebut satuan utama)

2.      Untuk sembarang 2 baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih awal harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.

3.      Jika suatu baris semua elemenya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.

4.      Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.

Contoh :

Matriks A, B dan C adalah matriks –matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi 1 menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks-matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.

Contoh :

Matriks D bukan dalam bentuk eleson baris tereduksi karena elemen d12, bernilai 1 sehingga tidak memenuhi syarat ke-4 (harusnya = 0, sedangkan matriks E tidak memenuhi karena baris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului baris ketiga yang merupakan barisan bukan nol, sehingga syarat ketiga tidah terpenuhi. Jika suatu matriks hnya memenuhi syarat 1-3 saja, maka dapat dikatakan matriks tersebut memiliki bentuk eselon baris.

Operasi-operasi Matriks

a.       Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada buah matriks yang memiliki ukuran yang sama.

Aturan jumlah dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks contoh :

b.      Perkalian matriks dengan matriks

Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B ) jika jumlah kolom matriks A = jumlah  baris matriks B.

Aturan perkalian misalkan Apq dan Bqr maka Apq Bqr = Cpr dimana elemen-elemen dari C (Cij) yang merupakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen A baris i dengan elemen-elemen B kolom j Contoh :

c.       Perkalian matriks dengan skalar

Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k.

Contoh :

d.      Transpose matriks

Transpose matriks A (dinotasikan At) didefinisikan sebagai matriks yang baris – barisnya merupakan kolom dari A.

Contoh :

            Sifat-sifat operasi matriks

-          A + B                    = B + A

-          A + (B+C)             = (A +B)+C

-          AB                                    ≠ BA

-          A (BC)                  = (BA)C

-          (At)t                      =A

-          (AB)t                     =BtAt

Matriks Invers

Definisi matriks invers jika A, B matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA – I(I matriks identitas), maka dapat dikatakan bahwa A dapat dibalik dan B adalah matriks invers dari A(notasi A-1).

Contoh :

Maka B = A-1 dan A = B-1 sifat yang berlaku :

-          (A-1)-  =A

-          (AB)-1 =B-1A-1

Sistem Persamaan Linier

Pendahluan

Bentuk Umum, Suatu persamaan linier yang mengandung n peubah x1, x2,......xn dinyatakan dalam bentuk a1x1 + a2x2 +........+anxn =b dengan a1, a2, ..... an, b adalah konstanta riil. Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi exponensial.

Contoh :

a.       X + y = 4         persamaan linier dengan 2 peubah

b.      2x -3y = 2z +1             persamaan linier dengan 3 peubah

c.       2 log x + log y =2        bukan persamaan linier

d.      2ex = 2x +3     bukan persamaan linier

Sistem persamaan linier (SPL)

Definisi sistem persamaan linier adalah himpunan berhingga dari persamaan linier

Contoh :

a.       x + y = 2                      b. x – y + z = 4

2x + 2y = 6                      x + y  = 0

Tidak semua sistem pertamaan linier memiliki penyelesaian (solusi), sistem persamaan linier yang memilki penyelesaian memilki dua kemungkinan yaitu penyelesaian tunggal dan penyelesaian banyak. Secara lebih jelasnya dapat dilihat pada diagram di bawah ini :

Pada sistem persamaan linier dengan dua peubah, secara geometris jika SPL tidak mempunyai penyelesaian maka grafiknya berupa dua garis yang saling sejajar, jika penyelesaiannya tunggal maka himpunan penyelesaiannya berupa sebuah titik hasil perpotongan dua garis sedangkan jika penyelesaiannya berupa dua buah garis lurus yang saling berhimpit. Secara lebih jelasnya dapat kita lihat pada berikut ini :

a.       x + y =2

2x + 2y = 6

Grafiknya :     

Grafik tersebut menujukan bahwa kedua garis sejajar sehingga tidak penyelesaian yang memenuhi dapat disimpulkan bahwa SPL tidak konsisten.

b.      x – y = 2

x + y = 2

Grafiknya :     

Grafik tersebut menunjukan bahwa himpunan penyelesaian dari SPL adalah titik potong antara x – y = 2 dan x + y = 2 yaitu titik (2,0). Jadi penyelesaian dari SPL adalah tunggal yaitu x = 2 y = 0.

c.       x + y = 2

2x + 2y = 4

Grafiknya :     

Grafik diatas bahwa x + y =2 dan 2x + 2y =4 saling berhimpitan sehingga hanya terlihat seperti satu garis saja. Himpunan penyelesaian dari SPL semua titik yang terletak disepanjang garis tersebut. Misalkan diambil x = 0 maka didapatkan y =2 yang memenuhi persamaan, jika x = 1 maka nilai y = 1 adalah nilai yang memenuhi. Secara matematis dapat dituliskan sebagai :

Untuk kasus sistem persamaan linier dengan menggunakan dua peubah, pembuatan grafik untuk menentukan himpunan penyelesaian seperti ini masih memungkinkan, hanya saja untuk jumlah peubah yang lebih banyak hal ini sulit dilakukan.

Operasi Baris Elementer

Ketika dihadapi masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier tertama yang menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah sistem persamaan linier yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu persamaan linier biasnya juga tidak didapatkan secara langsung akan tetapi melalui penyederhanaan dari masalah yang akan terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL. Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss-jordan. Pada proses eliminasi tersebut operasi-operasi yang digunakan diseut operasi baris elemter. Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan, yaitu :

a.       mengalikan suatu baris dengan konstanta bukan nol

b.      mempertukarkan dua buah baris

c.       menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya

dengan menggunakan operasi baris elementer, maka matriks eselon baris tereduksi yang didapatkan akan ekuivalenkan dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks awalnya. Matriks awalnya yang dimaksud adalah matriks diperbesar. Untuk melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukan berikut ini :

diketahui SPL dengan m buah persamaan linier dan n peubah

a11x1 + a12x2 +.....+a1nxn =b1

a21x1 + a22x2 +.....+a2nxn =b2

: am1x1 + am2x2 +.....+amnxn = bm

Sistem persamaan linier diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B dengan A =

Matriks yang memiliki berukuran nx1 atau 1xn biasa disebut vektor. Penulisan vektor sedikit berbeda dengan penulisan matriks, yaitu menggunakan huruf kecil dengan cetak tebal atau garis atasnya. Jadi matriks X dan B diatas biasa dituliskan sebagai x dan b atau x dan b sehingga SPL dapat dituliskan sebagai Ax = b. pada SPL yang berbentuk seperti ini, matriks A juga biasa disebut sebagai matriks konstanta.

Untuk menyelesaikan persamaan linier diatas maka dibuat matriksdiperbesar dari A dan b yang elemen-elemennya merupakan gabungan element matriks A dan vektor b yang dinotasikan [A|b] yaitu :

Untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut dilakukan eliminasi Gauss-jordan seperti yang ditunjukan dalam contoh berikut ini :

Contoh :

a.       x + 2y +3z =1

2x + 5y +3z = 6

x + 8z = -6

DAFTAR PUSTAKA

[1]          Y. Sibaroni, “Buku Ajar Aljabar Linear,” 2002.

Share on Google Plus

About fiqihhariansyah

This is a short description in the author block about the author. You edit it by entering text in the "Biographical Info" field in the user admin panel.